Ayman Rimah SAID : Sur le flot de l’équation d’Euler à surface libre

Résumé :

L’équation d’Euler à surface libre décrit l’évolution de l’interface séparant l’air d’un fluide parfait irrotationnel. C’est un système de deux équations couplées : l’équation d’Euler à l’intérieur du domaine et une équation cinématique qui décrit les déformations du domaine. Les 4 travaux qui constituent le corps de cette thèse peuvent être divisés en trois sujets connectés au problème de Cauchy du système des water waves.

1. Dans le prolongement des travaux d’Alazard, Burq et Zuily sur le caractère bien du système des water waves où ils ont de plus démontré la continuité du flot nous montrons:
   - dans un premier travail que le système des water waves avec ou sans tension de surface est quasi-linéaire au sens le plus fort du terme, c’est-à-dire que le flot n’est pas uniformément continu. De plus, dans le cas avec tension de surface, nous montrons que pour avoir une estimation Lipschitz sur le flot, il faut au moins une perte d’une demie dérivée. Plus généralement, pour l’équation de Burgers avec terme dispersif d’ordre 1<alpha<2, nous montrons qu’il faut au moins une perte de 2-alpha dérivés pour assurer un contrôle Lipschitz sur le flot.
   - dans un deuxième travail, nous montrons que les résultats obtenus précédemment sont effectivement optimaux, c’est-à-dire que pour l’équation de Burgers avec un terme dispersif le flot est effectivement Lipschitz au prix d’exactement 2-alpha dérivés. Pour le système des water waves avec tension de surface en deux dimensions d’espace, nous montrons qu’après re-normalisation, le flot est bien Lipschitz au prix d’une perte d’une demie dérivée.
2. Afin de démontrer les résultats dans le deuxième travail, nous avons développé une généralisation para-différentielle d’une transformation de jauge complexe de type Cole-Hopf introduite pour la première fois par T. Tao pour l’équation de Benjamin-Ono. Dans un troisième travail, nous utilisons cette généralisation pour améliorer les résultats connus sur une conjecture numérique due à Saut et Klein sur l’équation de Burgers dispersive.
3.  Afin de démontrer les différents résultats dans ses 3 travaux, nous avons étudié et affiné différents résultats connus en calcul paradifférentiel. Plus précisément dans un quatrième travail nous améliorons certaines estimations sur l’opérateur de paracomposition introduit par Alinhac, nous donnons une preuve du changement de variables dans le calcul paradifférentiel et enfin nous étudions comment le support du cut-off fréquentiel varie après la composition d’opérateurs para-différentiels.

Abstract :

The Euler equation with free boundary, i.e the water waves system, describes the evolution of the interface between air and a perfect irrotational fluid. It is a system of two coupled equations : the Euler equation in the interior of the domain and a kinematic equation describing the deformation of the domain. The 4 works that constitute the body of this thesis can be divided into three connected subjects on the Cauchy problem of the water waves system.

1. In the continuation of the works of Alazard, Burq and Zuily on the well posedness of the water waves system where they moreover showed the continuity if the flow map we show:
   -in a first paper that the water waves system with and without surface tension is quasi-linear in the strongest sense, i.e the flow map is not uniformly continuous. Moreover in the case with surface tension we show that in order to have Lipschitz estimate on the flow map at least a loss of one half of a derivative. More generally for the Burgers equation augmented by a dispersive term of order 1<alpha<2, we show that at least a loss of 2-alpha derivative is needed to ensure Lipschitz control on the flow.
   -In a second paper we show that the results previously obtained are are indeed optimal, that is for the Burgers equation augmented with a dispersive term the flow map is indeed Lipschitz under a loss of 2-alpha derivatives. For the water waves system with surface tension in two space dimension we show that after suitable re-normalization that the flow map is Lipschitz under a loss of one half of a derivative.
2. In order to prove the results in the second paper we developed a paradifferential generalization of a complex Cole-Hopf type gauge transform first introduced by T. Tao for the Benjamin-Ono equation. In a third paper we use this generalization to improve upon known results on a numerical conjecture by Saut and Klein on the dispersive Burgers equation.
3. In order to prove the different results in the previous three papers, we needed to study and refine different known results in paradifferential calculus. More precisely in a forth paper we improve some estimates on the paracomposition operator introduced by Alinhac, give a proof of the change of variables in paradifferential operators and finally study the frequency cut off after composition of paradifferential operators.